Sebuah pabrik pembuat kotak tanpa tutup penyimpan barang terbuat dari triplek dengan kapasitas 288.000 cm3. Dengan ukuran panjang kotak sama dengan dua kali uku

Rp 144.009

Pembahasan

Diketahui

• Kotak tanpa tutup
• Volum = 288.000 cm³
• Lebar = x cm
• Panjang = 2x cm
• Ongkos pembuatan kotak Rp 5.000,00 per m²

Ditanya

Ongkos pembuatan satu kotak agar bahan yang diperlukan minimum

Penyelesaian

Step-1: siapkan persamaan volum kotak

Dimensi kotak adalah sebagai berikut:

• panjang = 2x
• lebar = x
• tinggi = t

Ukuran panjang kotak sama dengan dua kali ukuran lebar.

Volum = panjang x lebar x tinggi

288.000 = (2x)(x)(t)

x²t = 144.000 

Kita siapkan [tex] \boxed{ \ t = \frac{144.000}{ x^{2} } \ } [/tex] ... [persamaan-1]

Step-2: luas permukaan kotak tanpa tutup

Kotak tanpa tutup hanya memiliki permukaan depan, belakang, bawah, samping kanan, dan samping kiri. Kita susun persamaan luas permukaan kotak tanpa tutup.

L(x) = 2(2x)(t) + 2(x)(t) + (2x)(x)

[tex]L(x) = 4xt + 2xt + 2 x^{2} [/tex]

[tex] \boxed{ \ L(x) = 6xt + 2 x^{2} \ } [/tex] ... [persamaan-2]

Step-3: keadaan stasioner

Substitusikan persamaan-1 ke dalam persamaan-2.

[tex]L(x) = 6x(\frac{144.000}{ x^{2} }) + 2 x^{2} [/tex]

[tex] \boxed{ \ L(x) = 864.000x^{-1} + 2 x^{2} \ } [/tex] ... [persamaan-3]

Kini fungsi luas permukaan hanya memiliki satu variabel saja. Kita akan melakukan proses turunan terhadap fungsi luas permukaan dalam satu variabel. Bahan yang diperlukan minimum yang berarti luas permukaan minimum.

Keadaan stasioner 

[tex] \boxed{ \ L'(x) = 0 \ } [/tex]

[tex]-864.000x^{-2} + 4x = 0 [/tex]

Dibagi empat dan kalikan x² di kedua ruas.

[tex]-216 + x^3 = 0[/tex]

x³ = 216

Diperoleh [tex]\boxed{ \ x = 6 \ }[/tex] 

Nilai x inilah yang menyebabkan kotak tanpa tutup memiliki luas permukaan minimum.

Step-4: luas bahan minimum

Substitusikan nilai x ke dalam persamaan-3.

[tex]L(3) = \frac{864.000}{3} + 2(3)^{2}[/tex]

L(3) = 288.000 + 18

Jadi luas bahan minimum kotak tanpa tutup sebesar 288.018 cm² atau 28,8018 m².

Final step: biaya pembuatan untuk luas bahan minimum

Ongkos = Rp 5.000,00/m² x 28,8018 m²

Jadi ongkos pembuatan satu kotak agar bahan yang diperlukan minimum sebesar Rp 144.009.

_______________________

Pelajari lebih lanjut

1. Turunan terhadap fungsi eksponensial alami brainly.co.id/tugas/4700298
2. Menghitung besar sudut agar volume air yang tertampung maksimum brainly.co.id/tugas/15031846
3. Kasus penggunaan konsep limit fungsi untuk menentukan gradien garis singgung https://brainly.co.id/tugas/14268548

--------------------------------

Detil jawaban

Kelas: XI

Mapel: Matematika

Bab: Turunan Fungsi

Kode: 11.2.9

Kata Kunci: pabrik pembuat kotak, tanpa tutup, penimpan barang, kapasitas, volum, 288.000, bahan, luas, permukaan, ongkos pembuatan, 5.000, bahan, minimum, keadaan stasioner